-17.933333-0.03333317.933333-0.0333330.9818990.983883-5.3666663.3833340.8986340.3681330.7747266.3666672.983333Here we show three frames (coordinate systems) moving relative to each other: we observe from the black frame "A", while the blue frame "B" moves at the speed of u relative to "A", and the green frame "C" moves at the speed of v relative to "B". The magnitude of u and v can be controlled by the two points on the line segment, with -c < u,v < c. We mark the unit length for frame "A" as "xA" and the unit duration of time for frame "A" as "tA". Ditto for frames "B" and "C". Finally, the yellow line is the world line of a light ray. First let's simplify the picture a bit by making u=0 so that frame B overlaps frame A, i.e., the blue frame becomes orthogonal and coincide with the black frame. Now slide v back and forth to see how frame C changes. Notice that xC the unit point moves along a hyperbola, as it should be according to the Lorentz Transform. So does xT along another hyperbola. The large brown square mark P represents some event. Its coordinates with respect to frame B is computed as PxB and PtB. This is found by drawing two lines through B, one parallel to the xB axis, the other parallel to the tB axis. From the intersections (the small brown dots) one can compute the ratio with the unit lengths to obtain PxB and PtB. Ditto for frame C. Now you can add a few lines and points to this figure in order to test your understanding of the Lorentz Transform: 1. Please explain the length contraction effect. 2. Please explain the time dilation effect. 3. Please explain the dependence of simultaneity upon the choice of the obvervation frame You can move v along the segment to see how the amount of each effect varies with the relative speed of C to B. One thing that puzzles most people first learning the Lorentz transform is the question: How can it be the case that things in frame B looks like shortened, slow motion in frame C's eyes, while things in frame C also (by the principle of relativity) looks like shortened, slow motion in frame B's eyes? So now we (frame A, the black frame) will catch up with frame C and observe from their eyes in order to answer this question. This is achieved by moving u away from 0 until frame C overlaps frame A, i.e., the green frame becomes orthogonal and coincide with the black frame. In fact this happens when u=-v, i.e., when B (blue) moves at speed -v relative A (black), and C (green) moves at speed v relative to B (blue). See? The situation is exactly mirrored (and I mean it geometrically, too) from C's point of view. The amount of length contraction and time dilation is exactly the same as what B observes of C, except that the obvserved direction of motion is opposite. This Dr. Geo figure also shows that the addition of velocities under the Lorentz Transform can never exceed the speed of light, which is also (less visually) seen by the formula (u+v)/(1+uv/c^2). http://people.ofset.org/~ckhung/b/phy/lorentz.en.php Nous voyons ici trois référentiels (systèmes de coordonnées) en mouvement relatif : nous observons depuis le référentiel noir "A", tandis que le référentiel bleu "B" se déplace à la vitesse u relativement à "A", et le référentiel vert "C" se déplace à la vitesse v relativement à "B". Les valeurs de u et v peuvent être contrôlées par deux points sur le segment, avec -c < u,v < c. Nous marquons l'unité de longueur pour le référentiel "A" comme "xA", et l'unité de temps pour le référentiel "A" comme "tA". De même pour les référentiels "B" et "C". Finalement, la ligne jaune est la ligne d'univers d'un rayon de lumière. Commençons par simplifier la figure un peu en faisant u=0 de telle façon que le référenciel B se superpose au référentiel A, c'est à dire que le référentiel bleu devienne orthogonal et coïncide avec le référentiel noir. Maintenant tirons v de part et d'autre pour foir comment le référentiel C change. Notons que le point xC signifiant l'unité de longueur se déplace le long d'une hyperbole, comme il se doit d'après la formule de Lorentz. Le point xT en fait autant le long d'une autre hyperbole. La grande marque marron carrée P représente un évènement quelconque. Ses coordonnées dans le référentiel B sont calculées comme PxB et PtB. On peut les retrouver en traçant deux lignes dans B, une parallèle à l'axe xB l'autre parallèle à l'axe xT. D'après les projections (les petits points marrons) on peut calculer le quotient avec l'unité nde lobgueur pour obtenir PxB et PtB. De même pour le référentiel C. Vous pouvez ajouter maintenant quelques lignes et points à cette figure pour tester votre compréhension de la transformation de Lorentz : 1. Essayez d'expliquer l'effet de contraction des longueurs 2. Essayez d'expliquer l'effet de dilatation du temps 3. Essayez d'expliquer pourquoi la simultanéïté dépend du choix du référentiel pour l'observation Vous pouvez déplacer v le long du segment pour voir comment l'incidence de chaque effet varie selon les vitesses relatives de C et B. Une des choses qui intrigue le plus les personnes commençant à étudier la transformation de Lorentz est la question : comment peut-il se faire que les choses dans le référentiel B apparaissent raccourcies, comparativement à ce qu'elles sont lors d'un mouvement lent pour un observateur dans le référentiel C, cependant que les choses dans le référentiel C aussi (d'après le principe de relativité) paraissent raccourcies, comparativement à ce qu'elles sont lors d'un mouvement lent pour un observateur dans le référentiel B ? Maintenant, nous (dans le référentiel A, lignes noires) allons sauter dans le référentiel C et observer depuis ce point de vue pour répondre à cette question. Pour ce faire, on déplace u hors du zéro jusqu'à ce que les lignes de C recouvrent celles de A, c'est à dire que les lignes vertes deviennent orthogonales et coïncident avec les lignes noires. En fait cela se produit quand u = -v, c'est à dire quand B (bleu) se déplace à la vitesse -v relativement à A, cependant que C (vert) se déplace à la vitesse v par rapport à B (bleu). Compris ? La situation est exactement en miroir (et on entends ça au sens géomérique aussi) depuis le point de vue de C, sauf que la direction de déplacement observée est l'opposé. Cette figure Dr. Geo montre aussi que l'addition des vitesses gouvernée par la transformation de Lorentz ne peut jamais dépasser la vitesse de la lumière, ce qui apparaît aussi de façon moins visuelle à l'examen de la formule (u+v)/(1+uv/c^2). http://people.ofset.org/~ckhung/b/phy/lorentz.en.php Lorentz Transform. Input: u: scalar between -1 and 1 O: origin xA: unit point along the x-axis xT: unit point along the t-axis O-xA: x-axis O-tA: y-axis Output: xB: unit point along the x'-axis tB: unit point along the t'-axis compute the coordinate PxB given O: the origin light: the 45 degree line xB: the unit point along an axis xP: the point to measure coordinatecomputes: PxB: x-coordinate PtB: t-coordinate and the two projections along the axes given: O: origin Light: 45 degree line xB: unit point along x-axis tB: unit point along t-axis P: the point to measure coords