第八章
位能、能量守恆
保守力 (Conservative forces)
保守力的定義：當質點沿一封閉路徑運動，只要起點與終點相同，而力依此路徑所做之淨功為零，則此力為保守力；另一說法是，若力對質點在兩位置間運動時所做的功與質點在兩位置間所選取的路徑無關，則此力為保守力。
保守力常見之例子：重力（重量）和彈簧力為保守力；動摩擦力為非保守力。
位能 (Potential energy)
位能的定義：位能為保守力作用於系統時，與系統之位置有關的能量。當保守力對系統中之質點做功Ｗ，而其系統之位能變化為ΔU，保守力做功與位能變化之關係為
(8-1)
- 若質點由位置xi運動至位置xf，則系統中之位能變化為
(8-6)
重力位能 (Gravitational potential energy)
由地球與在其附近的質點間之重力及相關位置所定義的位能，稱為重力位能。
當質點由高度yi運動至高度yf，該質點－地球系統的重力位能變化為
�帽 = mg(yf-yi) = mg�描 (8-7)
- 若質點之參考點位置設為yi = 0，且設定此位置相對應之系統重力位能為U
i = 0，則質點在任何位置受到地球引力所定義的重力位能為
U = mgy (8-9)
彈性位能 (Elastic potential energy)
彈性位能是指與彈性物體之壓縮或伸長狀態有關的位能。
對一彈簧而言，若彈簧在自然長度時的位置與位能為參考座標x=0與位能基準點U=0 。則彈簧彈性位能為
(8-11)
機械能 (Mechanical energy)
一系統的機械能(或稱力學能)E為其動能K和位能U之總和：
E = K + U (8-12)
- 當系統內只有保守力做功，則系統的機械能E不會改變，即所謂之機械能守恒定律
K 1+ U1 =K 2+ U2 (8-17)
此處，下標指能量轉換過程中的不同時刻。此守恒定律亦可寫成
��E = ��K + ��U = 0 (8-18)
位能曲線 (Potential energy curves)
當系統的位能曲線U(x)已知，欲找出作用於質點上之保守力F時，可依力做功之積分公式反得下式
(8-19)
- 如果U(x)是以圖形表示，則在任何位置x處的力F，為在x處位能曲線上的斜率的負值，且質點的動能為
K(x) = E - U(x) (8-21)
此處E為系統的機械能。
- 轉向點(turning points)為質點逆轉運動方向之位置，因此，此位置上動能K=0。
- 平衡點(equilibrium point)為質點處於平衡狀態之位置，此時位能曲線的斜率為零（換句話說，此處保守力F(x) = 0）。
非保守力所做的功 (Work done by non-conservative forces)
若一非保守力Fnon作用在系統之的某質點上，則Fnon對系統所做的功Wnon相等於系統之機械能變化量D
E：
Wnon = D
K + D
U = D
E (8-24,8-25)
- 若一物體受一動摩擦力fk，此摩擦力所做的功與包含此物體的系統之總機械能變化量之關切為
D
E = -d fk (8-27)
d是物體在fk作用下的淨位移，(8-27)顯示系統將損失機械能，機械能改變量可看成是由fk 所損耗掉之能量。
能量守恒定律 (Conservation of energy)
在一被隔絕的獨立系統中，能量可從某一型式經由做功被轉換成另一型式，但系統的總能量Etot將維持一定值。此守恒定律稱為能量守恒定律
(8-34)
此處，D
Ｅ
int是系統中物體的內能變化。
- 若此系統非隔絕系統，則外力可對系統做功Ｗ，而改變系統的總能量。
(8-35)
功率 (Power)
功率是力轉換能量的變率(隨時間的改變率)，如果力在某一段時間
中所轉換能量為D
E，則力在那段時間所產生的平均功率為
(8-36)
(8-37)
質量與能量 (Mass and energy)
愛因斯坦發現質量亦為能量的一種型式，一質量為m之物體，其質量能(mass energy)E定義為
E = mc2 (8-39)
上式c為光速。
- 轉換質量為能量型式時，一原子質量單位(u)相當於931.5電磁伏特(MeV)。
- 在核子反應與化學反應中，反應所釋放或吸收的能量與質量改變之關切為
Q = －D
mc2 (8-40)
質量減少時，Q為正代表釋放能量。